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先说答案：行列式是线性变换的伸缩因子。 

理解行列式一定要从线性变换出发去理解，直接去理解它的代数形式是没有意义的。 

这篇文章的结构是： 

1、线性变换的几何直观 

2、实现线性变换的矩阵 

3、行列式 

1.线性变换的几何直观 

线性变换的几何直观有三个要点： 

(1)变换前是直线的，变换后依然是直线 

(2)直线比例保持不变 

(3)变换前是原点的，变换后依然是原点 

比如说旋转： 

比如说推移： 

这两个叠加也是线性变换： 

zz

自己动手试一下（观察下是否符合之前的三个要求）： 

2 实现线性变换的矩阵 

矩阵可以讲的东西非常多，我这里通过一个具体的例子来展示下矩阵是如何完成线性变换的。 

我把基画出来的原因是因为矩阵变换的其实是基。 

举例子来看看，比如旋转（旋转矩阵 )： 

如果要说详细点，实际上： 

我们只需要旋转基，就可以完成正方形的旋转： 

下面我们看看正方形的旋转过程中，旋转矩阵和基是怎样变化的（为了方便观察旋转，我标记出一个顶点）： 

再给一个例子，看看推移是怎么改变基的： 

3 行列式 

3.1 行列式是线性变换的伸缩因子 

我们还是拿旋转矩阵来举例子： 

什么意思？我们来看看： 

在继续往下面讲之前，我设计了一个动画，让你来感受一下，变换矩阵的行列式由正到负，线性变换会怎样进行（我把基也标注出来）： 

掌握了行列式是线性变换的伸缩因子这一点之后，我们就很容易理解各种行列式的值与线性变换的关系。 

3.2 行列式>0 

行列式>1，很显然对于图形有放大的作用： 

行列式=1，图形的大小不会变换： 

0<行列式<1，很显然对于图形有缩小的作用： 

3.3 行列式=0 

行列式等于0，有一个重要的结论是，矩阵不可逆。这点也很好理解。 

先看看什么是可逆。原始的图形是这个样子： 

通过旋转矩阵，逆时针旋转 45 度： 

再通过另外一个旋转矩阵，顺时针旋转 45 度： 

看起来这个正方形就像没有变换过一样，因此 

和 

互为逆矩阵。 

有的线性变换是可逆的，有的不行，比如行列式=0这样的线性变换就是不可逆的。从图像上看，图形会缩成一点： 

或者缩成一条直线： 

没有矩阵可以把它们恢复成原来的样子。 

这就好比摔碎的鸡蛋、泼出去的水、破了的镜子： 

所谓覆水难收、破镜难圆就是这个意思。 

3.4 行列式<0 

原始图像是这样的： 

被行列式<0的矩阵线性变换后是这样的： 

行列式<0，其实就是改变了基的“左右手法则”。 

4 推论 

知道了行列式的意义，我们就很容易知道，为什么说： 

我们也很容易知道，为什么说： 

这是因为： 

我们也很容易知道，为什么说三阶矩阵的行列式是列组成的平行六面体的体积。