本文转自博客 数学人生

由于种种原因要恶补一下微分流形和黎曼几何，吸取一下“前辈”们的经验，也希望大家能提供一些更好的经验！

1  自几何佳缘

在这方面我是很有感受的。我整理了一些心得笔记，打算以后给学生上课的时候，把这些内功心法传授给他们。 

这里先随便讲两句。以前研究生时候，我学过微分几何，用的是陈维桓那本。 但是学了之后还是不得要领。因为我们的老师只是照着书念，根本没有讲出精髓来。直到后来，我重学的时候，才恍然大悟，接下来可以说是一通百通。 

到底是怎么回事呢？且待我慢慢道来。  

(I) 首先我这次选的书非常好--可以说是机缘巧合。 我用的书是侯伯宇《物理学家用的微分几何》。  

这本书有几个特点：它讲述概念非常直观简洁，而且会告诉你这些概念的物理北景； 对重要的定理结论，它不给证明，但是会详细解释它的几何意义和物理意义。初学者看此书是非常省力的。 

忠告：如果你初学微分几何，千万不要看陈省身和陈维桓的《微分几何讲义》，这本书已经是高度提炼了。你没有好的几何背景根本不能消化--比如联络那一章就是。 

(II)其次， 侯的《物》里说了一段话，使我顿悟微几的关键所在。 他告诉我们，微分几何的概念结论等等都是在一个原则下展开的： 所讨论的东西都要与坐标选取无关。书中引用爱因斯坦一段话，说爱氏花了7年之功才建立广义相对论，其原因就在于他一直努力摆脱坐标系的困扰。 

忠告： 不管你学到哪个概念，你一定要牢牢记住这个原则。 举例来说，为什么定义切空间和与切空间要这么大费周章从等价类入手？就是因为它要让定义出来的东西和坐标无关。 明白这个原则，基本上就越过了学微几的第一道坎。后面可说是事半功倍。 

(III) 学微几的另一个重要原则就是： 内蕴的思想。 你碰到的所有概念和结论都是内蕴的。就是说他们只和这个流形有关，和流形所在的大空间无关。 这和本科的《曲面微分几何》不同，那里定义的东西常常是在3维空间里看的。  

忠告： 牢记这个原则！ 在你学了公理化定义的联络以及黎曼度量以后，再回过头来看，就会明白为什么人家煞费苦心来做这些事。 

(IV)理解切空间和与切空间，以及他们的张量，是微分几何入门的关键！ 

记住上面讲的原则，你再去看一遍体会体会就会领悟的。 这里不再多讲。  

我只想说说张量。 如果看陈省身和陈维桓的《微分几何讲义》，那你对张量的理解永远只是表面，你最多只知道他的代数定义。 为什么我们要在微几里讨论张量呢？ 你要是不知道很多背景，就不能体会其用意。 

比如黎曼度量， 他就是一个二阶张量。首先你要明白二阶张量不过就是矩阵！ 一般的张量不过是矩阵的推广！你回忆一下，向量可以看作一个1维数组，矩阵可以看作2维表格，那么3维表格不就是3阶张量吗？ 

所以无非是要造一个在流形上处处有定义的矩阵，并且这个矩阵和坐标无关。怎么才叫和坐标无关呢？ 这就引出了我们说的协变规律反变规律等等。  

然后你在回忆一下，我们在曲面微分几何里怎么定义度量，那时候曲面的度量就是3维空间度量限制在它上面，这不是内蕴的方式。 

所以人们要绕个弯子，从张量上来重新定义度量，因为张量是内蕴概念，只和这个流形有关。 

上面的说明就是要你看到，我说的这两个原则是怎么始终贯穿在学习理解中的。 

(V) 学习联络又是一个很难过的坎。 你要是直接看那种公理化的定义，最多只能像大多数人一样，只会背诵“法律条文”。 这个时候，你要先去看那种不是内蕴的定义方式。 然后你才会真正明白联络的几何意义，知道人家为什么这么做。 公理化定义只是为了满足我刚才说的两个原则。 

你可以参看《黎曼几何讲义》作者记不大清了，好像有一个姓白。 封面是蓝色的，版本较旧。 这本书写的联络一章非常好。 

(VI)过了这几关，基本上可以轻松读完陈维桓的那本书。 微分几何真正困难的东西，初学者是学不到的。初学者的困难就在于没有真正把握住我说的那两条原则。 

上面说的都是我的经验之谈，我就是这么学过来的。

黎曼几何的切入口

一般从直观的角度来说，要研究线的弯曲起码要在二维空间才能进行。（如果是非平面曲线还得在三维空间里）同样面的弯曲只能在三维空间里才能直观地研究。即便如此，三维空间的弯曲还是直观不起来了。因为四维以上的空间无法用图表示。当然用相应的类比还是可以进行研究的。 

要研究N维空间的弯曲是否至少要在N＋1维空间里才能进行呢? 

极而言之，现在假设有一个最高是N维的空间，如果比N维的维数少的空间的弯曲情况还可以在N维空间里研究的话，那么N维空间的弯曲，由于没有更高维的空间，如何研究呢？ 

在N维空间里研究N维空间自身的弯曲看来只能是另辟蹊径了。 

如果不借助更高维空间，仅通过空间自身的“努力”来研究弯曲的话，那你相对于黎曼几何的殿堂已经可以说是登堂入室了。 

此话怎讲。 

众所周知，在欧几里德空间里，一个矢量作平行移动“兜”一个圈回到原处，这个矢量的大小和方向都不会发生变化。这因为欧几里德空间是平直空间。 

那么在一个弯曲的空间里对矢量这样作是否会发生某种变化呢？回答是肯定的！不仅如此，还可以根据其大小和方向变化的多少来判断空间弯曲的程度和特性。换句话说，我们只要将某个矢量在N维空间里“兜”个圈，研究矢量的变化就可知晓此N维空间的弯曲的情况啦。看！研究N维空间的弯曲不必借助N+1维空间。 

关于矢量大小和方向的变化先分开来讨论比较方便。 

关于矢量方向的变化至少和一个叫“仿射联络”的量有关。如该空间是平直的，那么“仿射联络”量必为零。如果该空间的“仿射联络”不为零，则该空间就是弯曲的。不过，大家可要当心！“仿射联络”为零，该空间可不一定是平直的。因为“仿射联络”量不是一个张量。一个“仿射联络”不为零的空间可以通过坐标变换使它在空间的某个“局部”为零。 

关于矢量大小的变化则和一个叫度规张量的量有关。一般来说，在弯曲空间里矢量在平移时起码大小是变化的。这个度规张量可以反映空间的种种特性。当这个量与坐标和时间有关时，那么该空间不仅是弯曲的而且是“蠕动”的。 

“仿射联络”与度规张量似乎都能反映空间的弯曲，那么它们之间有什么关系呢？研究表明，度规张量可以完全确定“仿射联络”。但是“仿射联络”则不一定完全确定度规张量。为此，我们把度规张量看成是最基本的，并假设“仿射联络”总可以由度规张量计算出来。 

在研究矢量平移的变化过程中发现这种变化还和平移的路径有关，由于路径的不同又会引起额外的变化。（事情变得更为复杂了）这个额外的变化与一个叫曲率张量的量有关。曲率张量是唯一可以由度规张量的二阶导数的线性组合而构成的张量。此外如果该空间过分“七翘八扭”则还得考虑“挠率张量”等等。 

关于曲率张量按理应该大书特书一番。由于牵涉面过于复杂，只能点到为止。通过对牛顿引力方程的合理推广、广义相对论及对曲率张量的特定组合，爱因斯坦得出了一个有名的“上帝的方程式”——爱因斯坦方程！ 

黎曼几何竟和广义相对论挂上了钩。 

爱因斯坦方程就是引力场方程。于是一切就顺理成章了，爱因斯坦方程决定度规张量（物质决定度规张量）——度规张量决定曲率张量——曲率张量决定空间弯曲——度规张量决定仿射联络——仿射联络决定物质运动——…… 

顺便提一下仿射联络的“局部”为零的参考系相当于引力场中自由降落的升降机。挠率张量的物理效应并不显著，在这方面已经有人做过点“文章”了，看来意义不大。   

无论“维相”还是“反相”要想绕过黎曼几何几乎是不可能的。

微分几何与伴随着微分几何的发展而创立的张量分析是掌握广义相对论的基础工具。也由于广义相对论的成功，使一向冷僻的微分几何成为数学的中心学科之一。

从微积分发明起，微分几何的萌芽就诞生了。但是Euler、Clairaut和Monge的工作才真正使微分几何成为独立学科。Euler在关于测地学的工作中逐步得出重要得研究，并对法曲率的计算得出著名的Euler公式。Clairaut研究了曲线的曲率和挠率，Monge发表了《分析应用于几何的活页论文》，将曲线与曲面的重要性质用微分方程表示，使得经典微分几何的发展到达一个高峰期。Gauss在测地学的研究中，经过繁杂的计算，于 1827年发现了曲面的两个主曲率乘积与它在外围的Euclidean空间中的形状无关，仅仅取决于其第一基本形式，这个结果被Gauss得意地称为是绝妙定理，从而创立了内蕴几何，把曲面的研究从外围空间中解脱出来，将曲面自身作为一个空间来研究。1854年Riemann作了《关于几何基础的假设》，推广了 Gauss在 2维曲面的内蕴几何，从而发展出n维Riemann几何，随着多复变函数的发展。一批优秀数学家将微分几何的研究对象扩展到复流形，再拓展到包含奇点的复解析空间理论。微分几何的每一步前进所面临的都不仅仅是知识的深化，更意味着知识领域的不断拓展。在这里，微分几何与多复变函数论、Lie群理论、代数几何以及PDE都彼此产生深刻的互相影响。数学在不断的分化，又不断交融。

多复变函数论与微分几何的结合闪耀着迷人的光辉，单位圆和上半平面（两者可以建立共形映射）上定义Poincare度规后，单复变函数论与微分几何的联系就历历可见。Poincare度规是共形不变量。著名的 Schwarz定理在引入Poincare度规后就可以解释为：单位圆上Poincare度规在解析映射下不增加，当且仅当此映射是分式线性变换时 Poincare度规不变。应用Poincare度规下的双曲几何可以轻松证明著名的Picard小定理。而Picard大定理的证明需要用到艰深的模函数理论，如果用微分几何观点，也可以以极其简明的方式证明。这里，微分几何深深渗透到复变函数论之中。在多复变函数论中，分析复仿射空间的区域定义度规后，接下来就实微分几何的曲率计算和其他一系列计算。在单复变情形，所有奇点离散分布，而在多复变情形，由于著名的Hartogs开拓现象，所有孤立奇点都被吞没，甚至于奇点形成的连续区域也经常被吞没，只有形成实余维数为1的流形才可以避免这个厄运。但是，即使这种情形也需要其他限制条件才可以“确保安全”。多复变函数论中奇点的这种奇特性质使得它们注定要成为流形。1922年Bergman引进著名的Bergman核函数，那个时代的多复变函数还是 Weyl所说的草创时代，除了Hartogs、Poincare、Levi和Cousin等几位前辈的著名研究外几乎没有任何实质性进展，Bergman 的工作无疑给这个死气沉沉的领域注入了一股活力。在多复变函数中的域上的Bergman度量，在一维情形就是单位圆和Poincare上半平面上的 Poincare度量，这注定了Bergman工作的重要性。

代数几何的基本研究对象是任意维仿射空间或者射影空间中的代数方程组（定义方程组）的公共零点（代数簇）的性质，代数簇的定义方程组的系数以及代数簇的点所在的域所在的域称为基域。不可约代数簇是其基域的有限次扩域。我们熟悉的数域上线性空间就是以数域为基域的扩域，线性空间维数就是扩张次数。从这个观点出发，代数几何可以看成是对有限扩域的研究。代数簇的性质和其基域关系极其密切。对于域上复仿射空间或者复射影空间中的代数簇，研究的过程中不仅有大量概念和微分几何及多复变函数论重合，而且在研究过程中运用到大量有关的相似工具。复流形以及复解析空间的每一步进展无不同时影响着这些学科。许多相关领域的大师，虽然看上去只研究某一领域，但是其结果却影响到其他领域。例如： Lerey研究代数拓扑得出得层论，在代数拓扑中影响不大，单却由于Serre，Weil和H• Cartan（E•Cartan长子）的引进，深刻影响了代数几何和多复变函数论。Chern研究Hermite空间的示性类，但同时影响了代数几何、微分几何和多复变函数论。Hironaka研究代数几何中的奇点消解，但是他研究的复流形到复解析空间的修改与吹胀则影响了复解析空间理论。Yau证明了 Calabi猜想不仅影响了代数几何和微分几何同时影响了经典广义相对论。同时对于我们可以看出非线性常微分方程和偏微分方程在微分几何中的重要地位。 Cartan研究对称Riemann空间，得出了重要的分类定理，给出了1、2、3维空间中齐性有界域的完全分类，证明它们都是齐性对称域，同时他猜想：这种等价关系在n维情形也成立。1959年，Piatetski-Shapiro却在研究对称有界域的自守函数论的过程中找到了两个反例，在4维和5维的情形中各找出一个齐性有界域，它们不是齐性对称域，他将这些域命名为Siegel域，以纪念Siegel在1943年研究自守函数论方面的深刻工作。 Piatetski-Shapiro的这个结果深刻影响了多复变函数论和自守函数论，同时对于对称空间理论等一系列课题产生深远影响。正如我们知道的， Cartan将对称空间的研究化为Lie群和Lie代数的研究，这个观点直接受Klein的影响而又大大发展了Klein的初步想法。当年也正是 Cartan发展了Levi-Civita联络的概念，发展出微分几何中的一般联络理论，通过流形上各点切空间的同构映射，实现了Klein的梦想，同时大大促进了微分几何的发展。同样是Cartan，断定和乐群在流形研究中的重要性，几经波折，终于在他去世后三十年左右才被证实是正确的。在这里，我们看到了微分几何的浩瀚优美。

正如我们熟知的，测地线联系着ODE（常微分方程），极小曲面和高维极小子流形联系着PDE（偏微分方程）。这些方程都是非线性方程，因此对于分析学有着极高的要求。单复变函数论中著名的Cauchy-Riemann方程组联结起PDE和复分析之间的联系，在多复变情形，Cauchy- Riemann方程组不仅空前深化了这个联系而且由于Cauchy-Riemann方程组的超定性（方程个数大于变量个数）导致了奇异的现象。这又使得 PDE与多复变函数论与微分几何紧密结合。

大多数学习微分几何的学者都被Gauss与Riemann的内蕴几何的无比深邃击晕，被Cartan的活动标架法的优美简洁倾倒，被Chern的示性类理论的博大精深折服，被Yau深厚精湛的几何分析功底震慑。当年年轻的 Chern面对整体微分几何时说自己就像面对一座闪耀金色光芒的山无比向往却一时无法攀到最高峰。但是后来他却赶在Hopf和Weil之前成为这个领域的一代宗师。

如果说Cartan发展的微分几何渐渐改变了广义相对论的几何模式的话，那么Chern等人的微分几何不仅在延续Cartan的影响而且以纤维丛的形式推动了规范场论的发展。微分几何仍然像Einstein时代那样和物理紧紧相连并且从物理中不断获取研究课题

为什么三维球无法赋予平坦度规却可以赋予共形平坦度规？因为三维球和其他维数的球一样无法与平坦空间建立等距映射，所以无法建立平坦度规；而n维球都是单连通常曲率空间，因此可以可以建立共形平坦度规。在微分几何中，等距的含义就是映射前后流形上对应点之间的曲线距离不变。一个流形与平坦空间等距时其 Riemann截面曲率恒为零。因为所有球面的曲率都为正的常数，所以n维球面以及其他的截面曲率非零的流形都无法赋予局部平坦度规。

但是还有局部共形平坦这个概念，对于流形上两个度规G和g，如果G=exp{ρ}•g，则称G与g之间的变换是共形变换。Weyl共形曲率张量在共形变换下保持不变，它是流形上的（1,3）型张量场。当Weyl共形曲率张量为零时，流形的曲率张量可以用Ricci曲率张量与数量曲率表示，所以 Penrose 总是强调曲率=Ricci+Weyl。

一个n维Riemann流形的度规张量g在局部上共形等价于平坦度规，则称为共形平坦流形。所有截面曲率为常数的流形（常曲率流形）都是共形平坦的，所以都可以赋予共形平坦度规。而所有维数的球面（当然包括三维球）都是常曲率流形，所以必定可以赋予共形平坦度规。反过来，共形平坦流形却未必是常曲率流形。但是有一个和Einstein流形有关的美妙结果可以弥补这个遗憾：3维以上的共形平坦 Einstein流形必定是常曲率流形。就是说要想让共形平坦流形却是常曲率流形，就必须要求Ric=λg，而这就是Einstein流形的定义。式中 Ric为Ricci曲率张量，g为度规张量，λ为常数。Einstein流形的数量曲率S=mλ为常数。而且如果S非零则其上面不存在非零的平行切向量场。Einstein引入宇宙学常数，使得他错失了预言宇宙膨胀的伟大成就，于是Hubble就飞黄腾达了；但是带有宇宙项的真空引力场方程却产生了 Einstein流形，这为数学家的展现才智提供了新舞台。

对于3维连通Einstein流形，即使不要求其共形平坦，它也自动是常曲率流形，其他维数不成立这个美妙性质，我是大一暑假学习张量分析时才知道这个结果的，感觉看到这个结果是一种享受。实流形中的截面曲率与Kahler流形中的全纯截面曲率是不一样的概念，因此也产生不一样的结果。全纯截面曲率为常数的Kahler流形，其Ricci曲率必定为常数，所以必定为 Einstein流形，称为Kahler- Einstein流形。Kahler流形为Kahler- Einstein流形当且仅当其作为Riemann流形时是Einstein流形。N维复向量空间，复射影空间，复环面以及复双曲空间都是Kahler- Einstein流形。Kahler-Einstein流形的研究成为几何学家的智力享受。

再回头讲讲等距映射的一个重要结果。考虑两个 Riemann流形M和N间的等距映射以及其诱导的切空间之间的映射，取M上任意点p，在其切空间任选两个不共线的切向量，求出其截面曲率。在映射下p点及其切空间上的那两个切向量在映射下变成另两个切向量，也求出其截面曲率。如果这个映射是等距映射，则这两个截面曲率是相等的。或者含糊些说就是等距映射不改变截面曲率。

反过来，如果任意点都成立截面曲率不改变的性质，那么映射是不是等距映射？答案是否定的。甚至在三维Euclidean 空间的曲面上都无法成立这个性质。在局部情形，必须加上测地线的限制，应用Jacobi场的性质才能作到这一点。这就是著名得Cartan等距定理。这个定理是Jacobi场的精彩应用。它的大范围推广是Ambrose和Hicks作出的，称为Cartan-Ambrose-Hicks定理。

微分几何就是充满无穷魅力。我们给pseudo-Riemannian空间分类，可以用Weyl共形曲率张量分类，可以用Ricci曲率张量分类，也可以用运动群进行分类得出9种Bianchi型。而这些东西都是可以归结到微分几何的研究，这里遥远的Riemann观点和稍近的Klein观点完美结合，这里可以看出Cartan的伟大智慧，这里可以看出Einstein的深远影响。

从Hermite对称空间到Kahler-Hodge流形，微分几何不仅与Lie群紧紧相连，也与代数几何和拓扑学血脉相通

想起 1895 年伟大的Poicare写伟大的《位置分析》创立组合拓扑时曾经毫不掩饰地说高维空间的微分几何是意义不大的学科，对此他说了句：“家有美景，何须远求。”（Chern译）拓扑就是家中美景，干吗要辛辛苦苦计算曲面甚至高维流形的曲率？可是这次这个全才数学家错了，但我们能不能说这位数学天才对微分几何没有大贡献？不能。看看今天微分几何与拓扑学的紧密相关我们就知道了。一个闭形式何时才是恰当形式？在同伦于点的区域（单连通区域）有Poicare引理之逆告诉我们这个自动成立。在非单连通区域有著名的de Rham定理告诉我们如何成立，那就是微分形式在所有闭链上的积分为零。

即使在Poicare所忽视的微分几何领域，他仍然以一种不经意的方式深深影响了这个学科，或者毋宁说是影响了整个数学。

任何一门学科创立后都寻求推广的性质，微分几何也是这样。从曲率上来说，平直的Euclidean空间曲率为零，几何学家推广到曲率为正常数（狭义的 Riemann空间）和负常数的空间（Lobachevskii空间），我们知道，非欧几何的伟大之处不仅在于它独立了第五公设而且用其他情况替代而导致新几何，更在于它的创立者能在其上进行三角分析。但是著名数学家Milnor所说，在微分几何进入非欧几何之前，非欧几何只是没手没脚的躯干而已。只有在定义了度规以后进行曲率的统一计算之后，非欧几何才焕发出生机。Riemann在1854年的演讲中只写下了一个公式，就是这一个公式统一了正曲率、负曲率和零曲率的几何。后人大都认为Riemann这个公式又是凭直觉想出来的，实际上后来人们发现了他计算这个公式用的草稿纸，才知道天才也是要勤奋的。 Riemann已经探索任意维数的任意曲率流形的曲率了，但定量的计算超越了那个时代的数学工具，他只能写出常曲率流形的统一公式。但是我们知道，即使到今天，这个结果仍然是重要的，微分几何的名目繁多的“比较定理”都是以常曲率流形为比较模本的。

当年Riemann曾经考虑了二次微分形式的二次方根,这就是我们都熟悉的Riemann metric,由此导出Riemannnian geometry,当时他特意提及另一个情形,就是用四次微分形式的四次方根(相当于四元乘积的和开四次方).这是两者的联系与区别。但他却说对于这种情况和前面一种情况在研究上并不要求实质上不同的方法。还说,这样的研究比较费时间并且对空间无法增加新的认识,计算的结果也缺乏几何意义。所以 Riemann只研究了现在称为Riemann metric的情形。为什么后世的Finsler热衷于推广Riemann不想研究的情形?可能是数学家好推广以致于成为癖好。Cartan当年在 Finsler几何方面作过努力,但成效不大,Chern对这种几何确实也寄予厚望同时也研究出一些成就.但我仍然和国际上的普遍看法一致,那就是 Finsler几何前途黯淡. 这也正是Finsler几何一直无法进入微分几何主流的本质原因,它没有真正值得几何学家去奋斗的优美性质,也没有什么大的应用价值.后来的K-展空间, Cartan空间也都没有成为主流,虽然它们都是Riemannnian geometry的推广,但是没有得到什么大的发展.

实际上, 有时候推广的东西能够得到的新内容不多,微分几何也是这样，不是研究的对象越平凡越好，而是应当适当的特殊才好。比如Riemann流形中,齐性 Riemann流形特殊,就具有更多优美的性质,齐性Riemann流形中,对称Riemann流形更特殊,所以性质更优美.这是从流形上Lie群的作用角度分析的。

从度规的角度分析,定向偶数维的Riemann流形上赋予复结构,形成复流形,性质就极其优美。近复流形只有在近复结构可积时才成为复流形。复流形必定可定向，因为可以很容易求出它的Jacobian必定非负，而实流形在一般情况下没有这个性质。再缩小范围,Kahler流形更加具有很好的性质， Kahler流形的所有复子流形都是Kahler流形，而且还是极小子流形（Wirtinger定理），这个优美的结果迷倒了多少微分几何学家和代数几何学家，因为其他更一般流形不成立这个优美结果。如果要求 (复)三维Kahler流形的第一Chern数为零,可以得出Calabi-Yau流形,这是理论物理学家极其有兴趣的流形。Calabi-Yau流形的镜流形同样是代数几何域微分几何共同的课题。流行上的Hodge结构至尽都是有着无尽吸引力的课题。

微分几何，一个道不尽的话题。就像代数几何中要求双有理等价是个奢求一样，微分几何中要求等距变换何尝不艰难。分类学是整个数学的永恒课题。群论中有单群分类，多复变函数论中有区域的分类，代数几何中有代数簇的分类，微分几何也有分类。

艰难的课题引起一批批年轻的几何学家和年老的学者的共同冲刺，微分几何的前景无比光明。 

以上文字转自漫谈微分几何---王善钦