本文转自微信公众号 原理

他是一位建造者，在数学的不同领域之间搭建桥梁；他是一位创造者，发展了被广泛应用的数学工具；他更是一位远见者，打开了新的数学世界，使数学家有了新的探索方向。他便是柏原正树（Masaki Kashiwara）。在他近50年的数学生涯中，他开创了一个新的领域，用前所未有的方法证明了惊人的定理。

在2018年的国际数学家大会上，柏原正树获得了陈省身奖（Chern Medal），以表彰他在代数分析和表示论中做出的杰出和基础的贡献。他在当前的数学领域里留下了独特的印记。

柏原正树。| 图片来源：ICM

搭建桥梁

柏原正树最早的重要贡献是发展了一种叫作D模（D-module）的工具。D模是一种由微分方程编织而成的精巧数学结构，是广泛应用于科学领域的、最基本的数学工具之一。

D模最初是由柏原正树在东京大学研究生院的导师——佐藤干夫创造的。他们一起工作，发现了所有不同类型的D模，以及它们之间的关联。

柏原正树：“我记了很多笔记，我没有数过，不过大概有好几百本。” | 图片来源：ICM

构建这些D模结构的基本单元是微分方程。微分方程属于数学分析的范畴，它描述变量之间的关系，处于现代科学的核心。例如，移动物体的速度就是通过微分方程表达的，它描述了运动距离与经过的时间之间的关系。

但是，D模使用的框架来自于数学中一个抽象得多的分支——代数。在代数中，所有细节都被剥离，只专注于所涉及的抽象结构的核心。

因而，D模连接了分析与代数这两个数学领域，使得一个领域的研究对象和方法可以进入另一个领域。柏原正树极大地发展了D模理论，使之成为一个全新的领域——代数分析的基础。

然后，柏原正树使用D模来证明数学上一个长久以来悬而未决且极其重要的开放性问题——黎曼-希尔伯特问题，这是希尔伯特1900年提出的一个问题（希尔伯特23个问题的第二十一个）的推广。

我们知道一个方程可能有多个解。例如，方程 sin(x)=0 有 0、π、2π、kπ 这一系列解。我们称方程是多值的。

左图：多值的sin函数。右图：在x=0处存在奇点的函数1/x

另外，有些函数在一些点是没有定义的。例如函数1/x，当 x 趋近 0 时，函数值趋向于无穷大，它在 x=0 处是没有定义的。我们称这样的点为奇点。在奇点附近，方程的行为变得怪异。

如果这种多值性出现在奇点附近，而不是像sin函数一样周期性地变化，就会成为一个特殊的问题。

数学家用方程对应的单值群（monodromy group）来理解这种奇怪的行为。这种群描述当方程的解在奇点附近变化时产生的空间形状，也就是空间的拓扑结构。

在复平面上，函数log(z)在z=0处存在一个奇点。复平面上绕奇点整数圈的z，其log(z)的值都是相同的，也就是说，在复平面上，log(z)函数是多值的。如果围绕奇点构建一个如图所示的螺旋曲面，那么当z环绕奇点时，log(z)将从一个单叶分支进入另一个单叶分支，而不是回到原来的复平面，也就是说，函数变成了单值的。| 图片来源：Wikipedia

线性微分方程是一种特殊类型的微分方程。任何一个线性微分方程都有着与之关联的单值群。然而，黎曼-希尔伯特问题问的是一个相反的问题：对于每一个单值群，是不是也存在一个相关联的线性微分方程，它在奇点附近的行为由单值群来描述？

包含单个变量的线性微分方程已经在二十世纪六十年代解决了。在八十年代，柏原正树找到了问题的答案。他展示了对于任意一个单值群，如何找到相关联的线性微分方程，也就是说，找到在奇点附近具有特定行为的所有线性微分方程。

这是一个突出的成果，而且，他的方法为代数分析与拓扑这两个领域搭建了一个重要的桥梁。

学习中的柏原正树。| 图片来源：ICM

表示论与水晶基

柏原正树贡献良多的另一个数学领域是表示论（representation theory）。这是一种可以将抽象的代数结构描述为一种更易于理解的事物——作用于向量空间的矩阵——的方式。

表示论探索的是关于对称的问题。数学领域中最基本的问题之一是关于可能存在的所有不同类型的对称性。在物理世界，我们只会体验到几种基本类型的对称性：脸部的镜像对称，雪花的旋转对称，地板图案的平移对称，以及它们之间的组合，例如螺旋形的开瓶器。然而在更高维度，有着无穷多种可能性。表示论提出的问题是：展现一种特定类型对称性的所有不同的数学对象有哪些？

柏原正树与合作者一起，证明了表示论领域的Kazhdan-Lusztig猜想，这一问题处于分析、代数与几何的交汇处。他们的证明方法是如此聪明且出人意料，甚至连该领域的数学家都赞叹不已。之后他又与另一位数学家合作，证明了这个猜想更普遍的形式。这一证明如同一场革命，使得表示论发展成了现在的形式。

柏原正树的水晶基定理。 | 图片来源：ICM

通常，许多不同的数学对象会展现出同一种特定类型的对称性，而这些数学对象会以难以理解的复杂方式彼此关联。为了表示这些数学对象之间的关系，柏原正树引入了水晶基（crystal base）的想法，使得能够利用组合数学来回答表示论中的问题。

水晶基的概念揭示了复杂数学结构（用作用于向量空间的矩阵来表示）的核心是图（graph）。水晶图（crystal graph）的顶点是基底，图的边表示这些元素是如何相互关联的。

水晶基的一个例子。从右上角的内嵌图中，可以看见图结构的边和顶点。| 图片来源：Anne Schilling/Philip Sternberg

这项工作的影响超出了数学领域。水晶基的概念在数学物理领域非常有用，它被用来证明粒子系统统计行为的公式。加州大学戴维斯分校的数学教授Anne Schilling说：“除了在表示论和统计力学方面的应用，水晶基在数论领域也产生了影响，尤其是自守形式（automorphic form）和狄利克雷级数。事实上，2013年ICERM数学研究所整个学期的课程都集中在组合表示论（combinatorial representation theory），也就是水晶基与数论的相互作用。 ”

日本京都，柏原正树在前往工作的途中。| 图片来源：ICM

柏原正树没有停下来，他仍然与许多不同的人合作，继续做着突破性的工作。

2016年，他证明了之前的黎曼-希尔伯特对应（Riemann-Hilbert correspondence）的一个延伸问题。他还在搭建不同数学领域之间的桥梁，包括辛几何。他的工作激发了许多数学家的灵感，另外，他还写出了被多个领域奉为“圣经”的教科书。

他的颁奖词中写道：“柏原正树的工作具有突出的深度、广度、才华和非凡的独创性。如果没有他的贡献，无法想象代数分析和表示论会是什么样子。”

参考来源：

https://www.mathunion.org/imu-awards/chern-medal-award/chern-medal-award-2018

https://plus.maths.org/content/chern-medal-2018-masaki-kashiwara

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