本文转自公众号 算法与数学之美

本文主要针对涉及到离散傅立叶变换复数问题做一个回复，大部分网友都认为离散傅立叶变换复数，就是一顿数学的推导，用matlab套用公式做几个例子就差不多了，至于很详细的，尤其是感性的理解，完全没有。

其实，关于傅立叶变换本身不复杂，但引入了复数之后，因为大家对复数的物理意义都不懂，最后都是属于理性的公式推导，但最后的结果的物理意义是什么，大家却都不明白，只知道一堆的数学公式，这个是一种本末导致，所以我认为有必要先搞明白复数的物理意义，只有看得懂复数，有它的感性认识，那么基于它的推理才可能有感性，深刻的认识。

对于复数，长期困扰着我，无法理解，因为老师从来没有跟我们解释过它的物理意义，只是把结果告诉我们，让我们死记硬背。对于一个无法理解的东西而又想要去理解，最好的办法是溯源，去了解它的历史：

复数，最早是在解一元三次方程的时候引入的，当时解一元三次方程，很难解，引入了一个符号——设为J，J * J = -1,可以比较容易的解了这个方程，但带j的那个解，不被大家认可。这是虚数第一次出现，但到了后来，高次解之后，大家发现，j越来越绕不开，并且有规律，N次方程，就有N个包含带J的解，于是大家认识到一点，一个高次方程，要想解它的解，最佳的捷径就是从J入手。

到了高斯时期，高斯对这个J进行了研究，那个时候是笛卡尔坐标系，但他第一个把J引入坐标系，于是出来了复数坐标系，但他的物理意义是什么呢？他把这个物理意义跟平面坐标的矢量四则运算结合起来，若J * J = -1，恰好满足一个平面坐标的矢量四则运算，那个时候他意识到，J真是存在，J的物理意义就是表示另外一个坐标轴，它是一个坐标轴的符号，为了区别X轴，引入Y轴，那么必须要用符号标记，所以J是坐标Y轴的符号，这就是它的物理意义，于是就有了a+bJ。

有了复平面其实就是用一个数来表征一个平面数据，而J只是一个符号，那么这个符号的四则运算肯定不同于数字运算逻辑，假如符号运算逻辑跟数字运算逻辑等价，是不可以理解的，那么这样下，J * J = -1,这个就可以理解了，J * J = 1反而不能理解，因为这个J是符号，这个是符号的四则运算逻辑，它必须要跟数字的运算逻辑不同，甚至相反。而现在恰恰相反，满足了我们的实际需要，这样数学进入了平面时代。

那个时候三角函数发明了，并且非常兴起，而三角函数是典型的平面坐标体系，于是大家想到了用复平面来表征三角函数，这个里面，欧拉做了最大的贡献，那就是欧拉公式:e^iπ+1=0。它把数的基本逻辑搞明白了，出来了完美的公式，而后期的傅立叶变换，大家也开始引入了正交复平面坐标系来表征一维信号，发现得到了一个完美统一的表达方式：用正交复平面坐标系来描述，这个相对于常规的，用三角函数正交坐标系描述，在形式上更统一。但是，三角函数正交系（普通傅立叶变换）的表达都让很多人晕乎了，何况还是的正交复平面坐标系，这个就导致了理解上的难度。其次，我们的教育，虚数是在高中时期引入的，那个时候老师根本不明白虚数的意义，到了大学，我们往往把结果当成了真理来运用，不去溯源而忘乎了复数的历史起源，可以说，复数的起源，是很多初期数学家困惑的东西，就如同量子理论一样，大家都在不停的否定中，被迫承认，后来发现好处，尤其形式上的完美统一，最后，反而进入了自我循环的独立体系，却最后忘记了它的根本，任何东西，必须要有物理意义，抛弃物理意义，只是推导，那只需要计算机就可以了，不需要人。

复数的引入，最大的价值，让我们的思维开阔了，可以引入N维度的思维，这个在实际中有很多应用，而基于这种思维的应用，一般都是可以做一些高、精、尖的产品，以避免同质化竞争。

有人在Stack Exchange问了一个问题："我一直觉得虚数（imaginary number）很难懂。中学老师说，虚数就是-1的平方根。可是，什么数的平方等于-1呢？计算器直接显示出错！直到今天，我也没有搞懂。谁能解释，虚数到底是什么？它有什么用？"

帖子的下面，很多人给出了自己的解释，还推荐了一篇非常棒的文章《虚数的图解》。我读后恍然大悟，醍醐灌顶，原来虚数这么简单，一点也不奇怪和难懂！

下面，我就用自己的语言，讲述我所理解的虚数。

一、什么是虚数？

首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。

这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。

这相当于两次逆时针旋转90度。

因此，我们可以得到下面的关系式：

    (+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)

如果把+1消去，这个式子就变为：

    (逆时针旋转90度)^2 = (-1)

将"逆时针旋转90度"记为 i ：

    i^2 = (-1)

这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。

所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。

二、复数的定义

既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态。

将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。

只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。

数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。

为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。

三、虚数的作用：加法

虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。

比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？

根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。

这就是虚数加法的物理意义。

四、虚数的作用：乘法

如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。

比如，一条船的航向是 3 + 4i 。

如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？

45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 

与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：

    ( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )

所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。

如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：

    ( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )

这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。

五、虚数乘法的数学证明

为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？

下面就是它的数学证明，实际上很简单。

任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。

假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：

    a + bi = r1 * ( cosα + isinα )

    c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )

这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于

    r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )

展开后面的乘式，得到

    cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )

根据三角函数公式，上面的式子就等于

    cos(α+β) + isin(α+β)

所以，

    ( a + bi )( c + di )　＝　r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )

这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。

这边文章的好处是，隐约折射出i代表的是哪种极限，应该是跟旋转和正交有关的；当然，能进入欧拉公式的，肯定都不简单；

就像光速c代表了一种极限，欧拉公式中的e和π，都显然代表了一种极限；通俗的生活的讲，e是繁殖的极限，比如细菌培养；π是容积的极限，比如一定周长下的最大面积，一定表面积下的最大体积，等等...

或者说，i可能代表了一种维度上的东东~