5.《孙子问题(中国剩余定理)》
在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题：
“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”意思是，“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数。”
这个问题称为“孙子问题”.关于孙子问题的一般解法，国际上称为“中国剩余定理”.
我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：
三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。
这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。
根据剩余定理，我把此种解法推广到有n(n为自然数）个除数对应n个余数，求最小被除数的情况。输入n个除数（除数不能互相整除）和对应的余数，计算机将输出最小被除数。
C++实现功能函数：
/*
函数名：ResidueTheorem
函数功能：运用剩余定理，解决推广了的孙子问题。通过给定n个除数（除数不能互相整除）和对应的余数，返回最小被除数
输入值：unsigned int devisor[]，存储了n个除数的数组
unsigned int remainder[]，存储了n个余数的数组
int length，数组的长度
返回值：unsigned int， 最小被除数
*/
unsigned int ResidueTheorem(const unsigned int devisor[], const unsigned int remainder[], int length)
{
unsigned int product = 1; //所有除数之乘积
for (int i=0; i<length; i++)//计算所有除数之乘积
{
product *= devisor[i];
}
//公倍数数组，表示除该元素（除数）之外其他除数的公倍数
unsigned int *commonMultiple = new unsigned int(length);
for (int i=0; i<length; i++)//计算除该元素（除数）之外其他除数的公倍数
{
commonMultiple[i] = product / devisor[i];
}
unsigned int dividend = 0; //被除数，就是函数要返回的值
for (int i=0; i<length; i++)//计算被除数，但此时得到的不是最小被除数
{
unsigned int tempMul = commonMultiple[i];
//按照剩余理论计算合适的公倍数，使得tempMul % devisor[i] == 1
while (tempMul % devisor[i] != 1)
{
tempMul += commonMultiple[i];
}
dividend += tempMul * remainder[i]; //用本除数得到的余数乘以其他除数的公倍数
}
delete []commonMultiple;
return (dividend % product); //返回最小被除数
}
6. 凯撒密码
凯撒密码（caeser）是罗马扩张时期朱利斯o凯撒（Julius Caesar）创造的，用于加密通过信使传递的作战命令。
它将字母表中的字母移动一定位置而实现加密。注意26个字母循环使用，z的后面可以堪称是a。
例如，当密匙为k = 3，即向后移动3位时，若明文为”How are you!”，则密文为”Krz duh btx!”。
凯撒密码的加密算法极其简单。其加密过程如下：
在这里，我们做此约定：明文记为m，密文记为c，加密变换记为E(key1,m)（其中key1为密钥），
解密变换记为D(key2,m)（key2为解密密钥）（在这里key1=key2,不妨记为key）。
凯撒密码的加密过程可记为如下一个变换：c≡m+key (mod n） （其中n为基本字符个数）
同样，解密过程可表示为：m≡c+key (mod n） （其中n为基本字符个数）
C++实现功能函数：
/*
函数功能：使用凯撒密码原理，对明文进行加密，返回密文 函数名：Encrypt
输入值：const char proclaimedInWriting[]，存储了明文的字符串
char cryptograph[]，用来存储密文的字符串
int keyey，加密密匙，正数表示后移，负数表示前移
返回值：无返回值，但是要将新的密文字符串返回
*/
void Encrypt(const char proclaimedInWriting[], char cryptograph[], int key)
{
const int NUM = 26; //字母个数
int len = strlen(proclaimedInWriting);
for (int i=0; i<len; i++)
{
if (proclaimedInWriting[i] >= 'a' && proclaimedInWriting[i] <= 'z')
{//明码是大写字母，则密码也为大写字母
cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'a' + key) % NUM + 'a';
}
else if (proclaimedInWriting[i] >= 'A' && proclaimedInWriting[i] <= 'Z')
{//明码是小写字母，则密码也为小写字母
cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'A' + key) % NUM + 'A';
}
else
{//明码不是字母，则密码与明码相同
cryptograph[i] = proclaimedInWriting[i];
}
}
cryptograph[len] = '\0';
}
/*
函数功能：使用凯撒密码原理，对密文进行解密，返回明文 函数名：Decode
输入值：char proclaimedInWriting[]，用来存储明文的字符串
const char cryptograph[]，存储了密文的字符串
int keyey，解密密匙，正数表示前移，负数表示后移（与加密相反）
返回值：无返回值，但是要将新的明文字符串返回
*/
void Decode(const char cryptograph[], char proclaimedInWriting[], int key)
{
const int NUM = 26; //字母个数
int len = strlen(cryptograph);
for (int i=0; i<len; i++)
{
if (cryptograph[i] >= 'a' && cryptograph[i] <= 'z')
{//密码是大写字母，则明码也为大写字母，为防止出现负数，转换时要加个NUM
proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'a' - key + NUM) % NUM + 'a';
}
else if (cryptograph[i] >= 'A' && cryptograph[i] <= 'Z')
{//密码是小写字母，则明码也为小写字母
proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'A' - key + NUM) % NUM + 'A';
}
else
{//密码不是字母，则明码与明密相同
proclaimedInWriting[i] = cryptograph[i];
}
}
proclaimedInWriting[len] = '\0';
}
模运算及其简单应用就先讲到这了，其实模运算在数学及计算机领域的应用非常广泛，我这这里搜集整理了一些最最基本的情形，希望能够起到一个抛砖引玉的作用，让更多的人关注模运算，并及其应用到更广阔的领域中。
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2012-11-22 14:17:59 |
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