二 基本应用：
1.判别奇偶数
奇偶数的判别是模运算最基本的应用，也非常简单。易知一个整数n对2取模，如果余数为0，则表示n为偶数，否则n为奇数。
C++实现功能函数：
/*
函数名：IsEven
函数功能：判别整数n的奇偶性。能被2整除为偶数，否则为奇数
输入值：int n，整数n
返回值：bool，若整数n是偶数，返回true，否则返回false
*/
bool IsEven(int n)
{
return (n % 2 == 0);
}
2.判别素数
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。例如 2，3，5，7 是质数，而 4，6，8，9 则不是，后者称为合成数或合数。
判断某个自然数是否是素数最常用的方法就是试除法：用比该自然数的平方根小的正整数去除这个自然数，若该自然数能被整除，则说明其非素数。
C++实现功能函数：
/*
函数名：IsPrime
函数功能：判别自然数n是否为素数。
输入值：int n，自然数n
返回值：bool，若自然数n是素数，返回true，否则返回false
*/
bool IsPrime(unsigned int n)
{
unsigned maxFactor = sqrt(n); //n的最大因子
for (unsigned int i=2; i<=maxFactor; i++)
{
if (n % i == 0) //n能被i整除，则说明n非素数
{
return false;
}
}
return true;
}
3. 最大公约数
求最大公约数最常见的方法是欧几里德算法（又称辗转相除法），其计算原理依赖于定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。
C++实现功能函数：
/*
函数功能：利用欧几里德算法，采用递归方式，求两个自然数的最大公约数
函数名：Gcd
输入值：unsigned int a，自然数a
unsigned int b，自然数b
返回值：unsigned int，两个自然数的最大公约数
*/
unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b)
{
if (b == 0)
return a;
return Gcd(b, a % b);
}
/*
函数功能：利用欧几里德算法，采用迭代方式，求两个自然数的最大公约数 函数名：Gcd
输入值：unsigned int a，自然数a
unsigned int b，自然数b
返回值：unsigned int，两个自然数的最大公约数
*/
unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b)
{
unsigned int temp;
while (b != 0)
{
temp = a % b;
a = b;
b = temp;
}
return a;
}
4．模幂运算
利用模运算的运算规则，我们可以使某些计算得到简化。例如，我们想知道3333^5555的末位是什么。很明显不可能直接把3333^5555的结果计算出来，那样太大了。但我们想要确定的是3333^5555（%10），所以问题就简化了。
根据运算规则（4）ab % p = ((a % p)b) % p ，我们知道3333^5555（%10）= 3^5555（%10）。由于3^4 = 81，所以3^4（%10）= 1。
根据运算规则（3） (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ，由于5555 = 4 * 1388 + 3，我们得到3^5555（%10）=（3^(4*1388) * 3^3）（%10）=（（3^(4*1388)（%10）* 3^3（%10））（%10）
=（1 * 7）（%10）= 7。
计算完毕。
利用这些规则我们可以有效地计算X^N(% P)。简单的算法是将result初始化为1，然后重复将result乘以X，每次乘法之后应用%运算符（这样使得result的值变小，以免溢出），执行N次相乘后，result就是我们要找的答案。
这样对于较小的N值来说，实现是合理的，但是当N的值很大时，需要计算很长时间，是不切实际的。下面的结论可以得到一种更好的算法。
如果N是偶数，那么X^N =（X*X）^[N/2]；
如果N是奇数，那么X^N = X*X^(N-1) = X *（X*X）^[N/2]；
其中[N]是指小于或等于N的最大整数。
C++实现功能函数：
/*
函数功能：利用模运算规则，采用递归方式，计算X^N(% P)
函数名：PowerMod
输入值：unsigned int x，底数x
unsigned int n，指数n
unsigned int p，模p
返回值：unsigned int，X^N(% P)的结果
*/
unsigned int PowerMod(unsigned int x, unsigned int n, unsigned int p)
{
if (n == 0)
{
return 1;
}
unsigned int temp = PowerMod((x * x)%p, n/2, p); //递归计算（X*X）^[N/2]
if ((n & 1) != 0) //判断n的奇偶性
{
temp = (temp * x) % p;
}
return temp;
}
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2012-11-22 14:16:34 |
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