模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。本文以c++语言为载体，对基本的模运算应用进行了分析和程序设计，以理论和实际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。。

一 基本理论：

基本概念：

给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式  n = kp + r ；
其中k、r是整数，且 0 ≤ r < p，称呼k为n除以p的商，r为n除以p的余数。 
对于正整数p和整数a,b，定义如下运算：  
取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。  

模p加法：(a + b) % p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则(a + b) % p = r。  

模p减法：(a-b) % p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。  

模p乘法：(a * b) % p，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。  
说明：

1. 同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。

2. n % p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。

基本性质：

（1）若p (a-b)，则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)

（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)

（3）对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)

（4）传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)

运算规则：

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

结合率： ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p  （5）

交换率： (a + b) % p = (b+a) % p                 （7）

分配率： ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p  （9）

重要定理：若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）

若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有ac≡ bc(%p)；     （13）